Lizards n° 56, xilogravura, 1942, desenhos de Maurits Cornelis Escher
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Por trás da beleza, da complexidade e das cores dos mosaicos, encontram-se as relações geométricas, os padrões, a matemática. No livro Descobrindo padrões em mosaicos, Ruy Madsen Barbosa revela os conceitos que estruturam a pavimentação do plano, fazendo emergir a matemática oculta desses padrões.

Repleto de definições, fórmulas, ilustrações, demonstrações e um pouco de história, o livro possibilita uma leitura em vários níveis de profundidade, sendo igualmente atraente para leitores curiosos sobre o assunto com para matemáticos. Os conhecimentos apresentados no livro permitem ao leitor não só descobrir como também desenvolver seus próprios padrões visuais, aplicáveis em projetos de pavimentações ou até mesmo de padronagens, tornando essa leitura de interesse para arquitetos e designers.

Apesar de ser um livro com poucas páginas, 125 ao todo, ele está dividido em dez capítulos que abordam desde os conceitos básicos, passando pelo estudo detalhado dos polígonos – regulares e irregulares – que pavimentam o plano e apresenta, também, os padrões formados por simetrias, espelhos e caleidoscópios. Os polígonos podem ser entendidos como as peças do mosaico enquanto os padrões definem sua disposição sobre o plano, criando um grid. Ao se acrescentar cores e desenhos nessa estrutura, potencializa-se os resultados de pavimentações possíveis.

Lizards n° 56, xilogravura, 1942, desenhos de Maurits Cornelis Escher
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Após uma breve introdução sobre os mosaicos, o capítulo 1 traz uma coleção de conceitos que são mencionados frequentemente no decorrer do livro. Entre eles, podemos citar a pavimentação parcial, a total e a lado-lado, também comenta sobre termos específicos como mosaico, pavimentação e tesselação.

Os capítulos 2 e 3 são dedicados ao estudo dos polígonos regulares de um único tipo e de tipos diferentes, respectivamente. Primeiro, pensando em polígonos de um único tipo, o autor faz a seguinte pergunta: quais polígonos regulares pavimentam o plano? e responde, baseado em demonstrações matemáticas que somente os quadrados, os triângulos equiláteros, os pentágonos regulares e o hexágonos regulares são capazes disso. Então, ele parte para o estudo das pavimentações com polígonos regulares de vários tipos, descobrindo possibilidades de configuração desses polígonos ao redor de um ponto (vértice).

As simetrias são estudadas no capítulo 4. Começando pela simetria reflexional, o autor explica o conceito e o expande para o uso dos espelhos, levando a discussão para a análise das imagens múltiplas formadas nos caleidoscópios. As outras formas de simetria apresentadas, neste capítulo, são a rotacional, a translacional e a rotacional refletida.

Em “Padrões planos com caleidoscópios”, a discussão sobre as imagens múltiplas, iniciada no capítulo anterior, éretomada e aprofundada, baseada em três tipos de caleidoscópios: o equilátero, o isósceles e o escaleno. Neste ponto, os padrões obtidos são mais complexos do que os apresentados anteriormente.

Lizards n° 56, xilogravura, 1942, desenhos de Maurits Cornelis Escher
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No capítulo 6, o autor volta a se referir aos polígonos que pavimentam o plano, só que desta vez não se tratam dos polígonos regulares (de um ou mais tipos) discutidos nos capítulos 2 e 3 e sim dos polígonos irregulares. São paralelogramos, triângulos, trapézios, quadriláteros (convexos ou côncavos), pentágonos e hexágonos que se combinam em padrões, cujos detalhes são ilustrados e explicados matematicamente.

O dominó é algo conhecido do leitor. E quanto ao poliminó? Se o conjunto de dois quadrados unidos por um lado em comum dá origem ao dominó, esses quadrados, quando sozinhos são os monominós. Três quadrados juntos por, pelo menos, um lado formam um triminó e assim sucessivamente. O capítulo 7, “Poliminós e pavimentações” discute uma pavimentação baseada num grid quadriculado, preenchido pelos poliminós de diversas maneiras, permitindo um grande número de combinações. No final deste capítulo, o autor desafia o leitor à ampliar esse estudo baseado formas criadas a partir da união de triângulos equiláteros, de hexágonos regulares ou, até mesmo, de cubos, tirando a discussão do plano e levando para a tridimensionalidade.

Na sequência são apresentados os padrões de simetria em faixas lineares. São 7 classes de padrões baseados na combinação dos conceitos estudados no capítulo 4, ou seja, simetrias (translacional, relacional e rotacional), reflexões e deslocamentos. Com base nas explicações, o leitor é capaz de identificar esses 7 padrões em diversos exemplos de faixas decorativas presentes no livro e, ao final do capítulo, aprende a construir faixas circulares que seguem esses mesmos princípios.

Lizards n° 56, xilogravura, 1942, desenhos de Maurits Cornelis Escher
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Lizards n° 56, xilogravura, 1942, desenhos de Maurits Cornelis Escher
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Lizards n° 56, xilogravura, 1942, desenhos de Maurits Cornelis Escher
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O livro traz um capítulo inteiro dedicado ao estudo dos “Mosaicos tipo Escher” (1), no qual se desvenda a elaboração desses padrões complexos. Os esboços elaborados a partir dos trabalhos de Escher ajudam a definir o aproveitamento da pavimentação (baseada em quadrados, losangos, triângulos equiláteros e hexágonos regulares). Por meio da análise dos nós, é possível identificar como o artista fez uso dos contornos duplos em suas obras. O capítulo traz, também, vários exemplos de mosaicos desse tipo criados pelo autor em parceria com a artista plástica Rose Darros.

O último capítulo do livro é um convite para o leitor se aprofundar na investigação dos padrões por meio das figuras que os compõe. O autor apresenta as figuras monofórmicas, difórmicas e trifórmicas, que criam, respectivamente, apenas um tipo, dois tipos ou três tipos de padrões. Ele também sugere a leitura dos trabalhos dos pesquisadores: Anne Fontaine e George Martin, que ampliaram esse conhecimento por meio da descoberta de outras figuras, capazes de produzirem uma quantidade maior de padrões.

notas

NA – O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – Capes, Código de Financiamento 001

1
M.C Escher (1898-1972), artista Holandês cujos trabalhos podem ser divididos em duas fases. Na primeira, até 1937, eles correspondiam à realidade visível de cidades, bem como uma preocupação com a estrutura espacial e um uso notável da perspectiva. Na segunda, seus trabalhos mostram afastamento do mundo físico. Usando a imaginação e uma visão detalhista, que buscava a regularidade, para produzir várias composições geométricas.

sobre os autores

Andréa Graciano é Doutoranda e Mestre em Design (UAM, 2017), engenheira civil (Unicamp, 1993), Designer Gráfica (UAM, 2015) e pós-graduada em Tecnologia da Informação (FIA USP, 2003).

Gilbertto Prado é artista e coordenador do Grupo Poéticas Digitais. Atualmente é Professor dos Programas de Pós-Graduação em Design da Universidade Anhembi Morumbi e do PPG Artes Visuais da ECA USP.