Uma introdução ao argumento central

Este artigo é uma reflexão sobre a natureza do projeto de arquitetura, compreendido como manifestação de linguagem (mediação). Parte-se do pressuposto que, como mediação sígnica, o projeto arquitetônico é um processo de elaboração de uma estrutura sintática – topológica, por definição. Trata-se de frisar, no entanto, que o projeto de arquitetura é uma estrutura em construção (estrutura em ação), admitindo a interveniência de um sujeito do conhecimento arquitetônico sobre o sistema, desestabilizando-o, até que se alcance um estado final sincrônico, caracterizado por uma totalidade espacial sintaticamente submetida a princípios expressos pela topologia. Argumenta-se que essa estrutura é fruto de espaços conexos, articulados com a finalidade de produzir uma totalidade significativa, que é mais do que o produto da estrutura, e que comporta um sentido.

Sob esta visão, sintaxe e semântica, estrutura espacial e significado, imbricam-se e não se dissociam. No entanto, e este é o argumento central, o projeto enquanto ato e processo, que parece esgotar-se com a elaboração de uma estrutura sintática e topológica, e resultado sincrônico de reunião de partes num todo, é um complexo tecido de relações espaciais e produção de sentido, resultando do diálogo entre mediações transformadoras – intencionalidades e antevisões de percursos corpóreos, que definem a expressão do uso enquanto fenômeno espacial sensível. Isto quer dizer que o espaço arquitetônico não é o produto linear ou mecânico de leis estruturais, sequer o resultado de um espaço abstrato e geométrico, embora a natureza geométrica e topológica nele permaneça intrínseca.

O projeto como mediação entre intencionalidade, linguagem e referente (ao visar uma existência no mundo como obra) é o produto de uma rede de relações em fluxo dialógico, nasce de um debate, que o sujeito de conhecimento trava entre pressupostos e aspirações, condicionantes e soluções, que se manifestam na linguagem espacial. As enunciações construtoras desse complexo sentido se manifestam no processo projetual mediante relações dialógicas (1) , tecido inter e trans-textual entre níveis e manifestações diversos de linguagem: trata-se do comparecimento à construção estrutural de expressões proposicionais, algébricas e dimensionais e espacialidades, expressando qualidade e quantidade, topologia, matematização e conceitos, de forma indissociável.

No processo de estruturação, cujo resultado é o espaço arquitetônico, momentos específicos dele se dissociam, nos quais o sujeito enuncia conceitos, poéticas e intencionalidades, que o espaço projetado apresentará em uma síntese final.

A partir dessas considerações, uma teoria com a finalidade de penetrar a ação dialógica descrita, é uma elaboração analítica, que pode contribuir para revelar a natureza do projeto, como processo.

Projeto: estrutura, sentido e referência

A estrutura em ação (estruturação, ou estrutura-ação) é um devir que perpassa o sujeito do conhecimento arquitetônico. Este sujeito, cerne da elaboração da estrutura e agente de sua transformação, informa o espaço criado, reunindo a antinomia do movimento e da estrutura, da história e do invariante (2). Desse diálogo singular emerge a unicidade do espaço criado, com base em contínuo fluir em que o texto da estrutura topológica se transforma, a partir de outros textos ou enunciações, que configuram valores que lhe são articulados.

À sintaxe se articulam outras dimensões ou níveis, configurando uma semântica, uma rede de significado ou sentido. Esta elaboração admite também uma pragmática, mediação das relações de uso e percepção da espacialidade, materializada pelo movimento do corpo no espaço. Por semântica, entende-se a produção do sentido que vincula indivíduo e sistema, necessidade estrutural e liberdade da enunciação (3). A pragmática é também nível de significado, por mediar, no projeto o movimento do corpo no espaço, ao prever fluxos e percursos singulares.

O projeto é a construção de uma cadeia não apenas de signos, mas de sentido: e como tal, visa a um referente, ao antever e prenunciar a obra realizada, como materialidade, ao mesmo tempo em que faz da mediação da linguagem referência para o que se encontra fora dela. Dessa maneira e sob este paradigma que revê o estruturalismo por entender que há um sujeito produzindo a estrutura, o sentido se produz na complementaridade entre um nível explicativo, definido como jogo interno das dependências estruturais (4) e o interpretativo, de visada e intencionalidade.

O estruturalismo teria sido uma revanche contra a fenomenologia husserliana (5), a qual teria submetido à lógica do sentido todas as formas de operação sígnica. A história do pensamento filosófico desde finais do XIX e na primeira metade do século XX evidencia o embate travado entre a onipresença da estrutura e a interveniência de um sujeito na estrutura: apresentando posição heterodoxa em relação à autonomia da estrutura da linguagem lógica, alguns pensadores se insurgiram contra essa prepotência do signo. Frege foi um destes insurgentes; buscou explicitar a lógica entendendo-a como relação entre expressões sintáticas ou enunciados lógico-formais e um referente, extra-lógico, definindo assim um nível semântico: “Por semântica entendia ele [referindo-se a Tarski – grifo dos autores] a disciplina que ‘trata de certas relações entre as expressões de uma linguagem e os objetos, ou estado de coisas referidas por essas expressões” (6). Sob esse conceito, uma significação ou sentido surge na visada em busca da verdade e, por essa razão, a enunciação lógico-formal se volta a um referente e revela o ato de visar.  Dessa maneira, significação é o conceito de Frege, envolvendo três níveis: o símbolo, seus sentidos e seu referente (7).

A menção a Frege aqui tem por objetivo elucidar que sequer os estudos lógico-formais se renderam por completo ao signo e à estrutura, pois Frege compreendera que por meio da linguagem se expressa um sentido, e se denota uma referência: “Frege sugeriu que termos da linguagem deveriam ter tanto um sentido - ‘sinn’, quanto uma referência - ‘Bedeatung’, ou denotação-, significando que ao menos, duas relações semânticas são necessárias para explicar o significado dos termos de uma linguagem (8). O significado, segundo Frege, é o ato de pensar, “El pensamiento no puede ser la referéncia, de la oración, por el contrário, tenemos que conceberlo como el sentido” (9).

Em arquitetura, o ato de dar sentido implica em articular a uma estrutura sintática espacial (topológica) aspectos quantitativos e qualitativos, que expressam mediações. Essas mediações comparecem à concepção do espaço propriamente arquitetônico, que pode ser definido como composição complexa entre espaços e os sentidos por estes assumidos. Se, uma quantidade de espaço condiciona o projeto como ponto de partida – a topografia e as dimensões do terreno consistem nessa totalidade, dotada de dimensão ou de condição algébrica e quantitativa, essa quantidade de espaço condicionante define o limite que conterá a totalidade projetada e reúne também um conjunto de relações qualitativas.

A arquitetura ao resultar também do condicionante da topografia, implica em que a atividade de projeto envolve, para além dos aspectos qualitativos, uma quantidade de espaço total que define o conjunto métrico de base (as dimensões do terreno).Como signo dotado de sentido e mediação o projeto visa a uma referência: o projeto é uma possibilidade do ser.  Em ato de visada, voltamo-nos à referência, num movimento intencional de mirada de um “valor de verdade” - Ulisses, o personagem herói da Odisséia é essa possibilidade, pois  “El nombre ’Ulisses’ tiene una referéncia, en la medida en que tomemos el poema como obra de arte. Es entonces la aspiración hacia a la verdad lo que nos impulsa, sobretodo avanzar del sentido a la referéncia” (10). Como aspiração a referência e impulso ao valor de verdade como obra, o projeto é mediação em processo de visada.

Ao mediar o impulso à realização dessa possibilidade do ser, o desenho representa a quantidade de espaço em escala, partindo do conjunto métrico fundamental, e visando nele inserir o objeto projetado. Todo espaço métrico algebricamente definido é também topológico, à medida que regiões conexas e “bolas abertas”, expressão que define regiões espaciais conectáveis, formam também o conjunto de regiões métricas, porque a todo conjunto topológico pode se relacionar um conjunto métrico, expressão da quantidade de espaço e de sua dimensão (11). O conjunto métrico inicial conservará sua quantidade até o fim do processo projetual, mantendo a totalidade invariante, a despeito da variação das partes. Em arquitetura, a elaboração das relações parte-todo se submete ao condicionante da totalidade ou conjunto métrico representada pelo terreno, e as partes não serão maiores que o todo.

O espaço arquitetônico é então condicionado por essa conservação de quantidade, mas a despeito da existência de uma estrutura sintática (a equação 7 + 5 = 12 se fundamenta em uma operação que se conserva, sendo expressão de uma estrutura), e se a operação de somar consiste na sintaxe, o sinal “+” expressa uma intencionalidade. Enquanto a estrutura sintática se conserva, os números somados significam conteúdos específicos, pois se modificam.

A analogia matemática apresentada ressalta que apesar da conservação da quantidade total representada pelo terreno, o projeto reunirá partes ou regiões conexas (as “bolas abertas”) de diferentes formas, segundo as possibilidades de articulação destas frente às demais variáveis do exercício projetual.

Seguindo ainda a analogia, Frege definiu a importância de um sentido presente na elaboração de sentenças lógico-matemáticas, bem como a quantidade expressa pelo número como expressão de um sentido. Dessa maneira, o sentido, em uma expressão algébrica qualquer pode ser encontrado no conteúdo que se encontra à esquerda do sinal de igual em uma equação algébrica. Este sentido se revela porque determinada relação entre as partes – a relação estrutural dos parêntesis e colchetes - especifica propriedades ou atributos, visando uma referência e seu valor de verdade. Assim, 10 + [(5+2) + (4+2) + (5+2) + (20+2) + (30+8)] + 10 = 100; b) 10 + [(4.5+1.5) + (4+2) + (4.5+1.5) + (22.5+1.5) + (28+10)] + 10 = 100. O valor “100” pode significar como valor de verdade uma área total de 100 metros quadrados, que se conserva, de vez que o conteúdo interior dos colchetes poderia definir áreas parciais, relativas às dependências determinadas por um programa funcional (referência). Para a mesma totalidade “100”, o que está à esquerda do sinal de “=” pode variar e qualquer que seja o fundamento quantitativo ou conjunto métrico inicial, o projeto criará significado específico para espaços singulares.  

O historiador Moradiellos (12) questiona também o formalismo da estrutura matemática, assinalando a participação do sujeito na organização de seus enunciados e de um sentido. Afirma que “La verdad científica tiene lugar en la confluencia por identidad de las líneas objectivas recorridas por la propia actividad de los sujetos  humanos [...] En términos formales aritméticos, esta operación entre términos y la relación resultante se expresa así 7+ 5 =12 [...] pero tal que no puede eliminar la operación “+”, que es subjetiva: los números no se adicionan entre sí, es el matemático quien los suma”. Moradiellos prossegue (13), ponderando que a verdade “objetiva” ou estrutura sintática não substitui a semântica, representada pelo ato de somar e escolher a qualidade do que se soma. Ao contrário, “[...] esa verdad objetiva y universal brota de la realidad semántica del acto de juntar esos elementos” (14).

O pensamento de Moradiellos coincide com o de Frege conforme os exemplos anteriores, e estes autores são lembrados por questionar o predomínio sintático, mesmo para as linguagens lógica e matemática, que parecem atender rigorosamente aos pressupostos e princípios estruturalistas e autonomia da sintaxe. 

O projeto de arquitetura surge “[...] como ação qualificadora, insere o objeto projetado em toda a sua dimensão real, além de dotá-lo conscientemente de atributos que o distinguem como produção de conhecimento [...]” (15). Decisões qualitativas especificam ligações singulares, percursos, ou conectividades por caminhos. A conectividade é matéria fundamental da Topologia, e é intuitivo que dois pontos no espaço interligados gerem também uma métrica ou quantidade de espaço.

Conferir ao espaço projetado atributo e medida é de per se uma síntese, mediada pela linguagem arquitetônica e por quem a opera. Diante da sintaxe, o espaço arquitetônico pode transcender, como processo estruturante, as imposições dessa estrutura constante e invariável, nela incluindo intencionalidades. Estas intencionalidades são também linguagem, enunciados que por atuar como impulso exógeno ao sistema em organização, transformam o determinismo sintático entre partes. A conectividade por caminhos é assim diacronicamente contextualizada no decorrer do projeto e apesar de se impor como em todas as organizações projetuais como invariante, a riqueza do espaço arquitetônico consiste na complexidade de sintaxe, semântica e pragmática.

Relações espaciais definem uma estrutura desenvolvida no ato de projetar, até alcançar estabilidade. A busca do valor de verdade e o visar à referência não obscurecem a condição artística do projeto; pois, como sugere Frege (16), a referência pode ser uma obra de arte, ou ainda, “Assim ‘ 2 + 2 e ‘6 - 2’ se referem ou designam o mesmo referente, isto é, 4” (17), isto é, há formas diferentes para expressar um mesmo referente. 

O modo pelo qual uma expressão designa sua referência constitui o sentido. Para as sentenças, o sentido é um pensamento, ou proposição, e seu referente, um valor de verdade. Arquitetos conferem diferentes sentidos a uma mesma referência, como o terreno. A interpretação das possibilidades espaciais desse condicionante dará sentido à referência, da mesma maneira como o desenvolvimento do programa funcional construirá a significação.  

Prenúncio em que a inter e transtextualidade, o jogo entre linguagens e de manifestações de distintas linguagens e formas de enunciação, faz deslocar os fenômenos de mediação que é capaz de realizar – estando no lugar de, conforme a definição de signo de Peirce (18).

O projeto de arquitetura é por essa razão uma forma de produção de conhecimento dialógico (19), um objeto de conhecimento fundamentado na linguagem em processo. Um sistema em que uma estrutura topológica, sistema espacial definido como qualidade e invariância, um condicionante topográfico, base de um conjunto métrico (quantidade de espaço) e um sistema em fluxo contínuo de enunciados e atributos se articulam e transformam, todos estes outros textos, que desempenham o papel de desestabilização das estruturas topológica e métrica, até que o processo alcance estabilidade, ao incluir o sistema total de significado produzido.

O espaço arquitetônico como estrutura topológica em construção: sintaxe e semântica, como fundamento da espacialidade

As vanguardas modernas nos anos 1920 se ocuparam da percepção do espaço arquitetônico e de sua definição. A Teoria da Gestalt, amplamente difundida na Bauhaus (1919 a 1933) definiu a percepção da forma como figura e fundo, e estrutura relacional entre partes e todo, ao compreender a percepção da estrutura ou apreensão da totalidade como decisiva, frente à percepção das partes. Essa posição foi sendo questionada ao sugerir relações entre um sujeito da percepção, o objeto percebido e o meio, principalmente a partir dos trabalhos de Kurt Lewin (20).

A posição originada com a Gestalt, ao explicitar leis e relações de natureza parte-todo (sintaxe) na organização do espaço, definido como o resultado de conexões, regiões ou definição de limites espaciais e fronteiras, acarretaria em pares de opostos: dentro/fora, aberto/fechado, definindo estruturas espaciais abertas. Essas estruturas envolvem geometrias diversas: quadrados, círculos, triângulos etc., que se desdobram e conectam, fazendo o conjunto emergir por agregação e crescimento.

Desdobramentos de partes configuram eixos de crescimento, e Consiglieri (21) denomina a essa propriedade lei do crescimento topológico, agrupamentos multi-axial, em múltiplas direções. Desse desdobramento e a partir dessas propriedades topológicas que se encontram na arquitetura e no projeto, podem ser criados fluxos, e também a “[...] sensação de graus de planos de profundidade” (22).

Em arquitetura, no entanto, as partes correspondem a massas, volumetrias e espaço, cuja articulação permite expandir as conexões. Conexões planimétricas (plano euclidiano) não esgotam o espaço arquitetônico: o que acontece no plano se articula tridimensionalmente a espaços sob membranas, ou superfícies.

Se a Gestalt partiu das relações parte-todo como nexos entre forma e contorno; a topologia trata dos circuitos, valores e qualidades de lugar. No entanto, o lugar não é apenas o resultado de uma posição. A qualidade do lugar reúne e é fruto de decisões projetuais: quais são os espaços dominantes e secundários? Servidos e servidores? Envolve também a singularidade da volumetria e dos espaços, relações entre interior e exterior, percursos e a unicidade da organização espacial. O lugar resulta de valores a dar sentido ao espaço (uma semântica), sugerindo que a sintaxe não define o espaço concebido em sua complexidade arquitetônica, pois esta implica nos valores e significado, definidos pela concepção do uso. Quando o arquiteto concebe um sistema de fluxos e conexões, estes circuitos visam ao movimento corpóreo, passível de se realizar quando a representação projetual vier a se concretizar. Para um mesmo programa funcional há muitas soluções, variando-se a materialidade ou forma, transições e permanências, cheios e vazios e luz, cada uma destas soluções visando a um valor de verdade, conforme conceituou Frege.

A condição topológica e algébrica presente no espaço projetado define uma relação entre sintaxe e semântica, determinando-lhe outra natureza, distinta da abstração a que está condenado o espaço topológico definido no campo da matemática e da geometria, conforme definido por Euler. Ao vincular a percepção a sistemas e regiões, intuem-se forças e também obstáculos que se opõem à locomoção. O espaço como possibilidade e repressão aos deslocamentos humanos expõe tensões, relações de valor positivas e negativas, fortes e fracas, fazendo da aplicação da Teoria da Gestalt exercício abstrato (23).

A abstração da topologia puramente matemática foi também questionada por uma psicologia topológica, que se estruturou com os estudos de Piaget, em Psicologia Experimental e pelo arquiteto Christian Norberg-Schulz (24).

Ao aplicar à Arquitetura os princípios da Topologia, regiões se definem como espaços de vida ativa (25), para indivíduos ou grupos em ambientes conectados de maneira singular: “A ordem topológica revela o modo como os edifícios são utilizados - ou apreendidos - tanto por usuários regulares, seus habitantes, quanto por usuários ocasionais, os visitantes. A ordem topológica define características que tornam o espaço arquitetônico mais ou menos inteligível ao usuário. Todo e qualquer arranjo espacial produzido pelo homem conterá um sistema de rotas que dará suporte à imensa variedade de programas / eventos que constituem a vida humana.” (26). Entretanto, a despeito de a arquitetura envolver sintaxe, semântica e pragmática, Consiglieri (27) lembra que a produção do espaço arquitetônico requer o instrumental da geometria topológica, e esta é regida pela tríade: limite, região e conexão. Conexões em arquitetura são tridimensionais, embora todo fluir exija planos e níveis para o movimento humano na horizontal e vertical. Embora a percepção desencadeada entre homem e espaço arquitetônico envolva teto, parede e piso, é fato que o fluxo acontece em planos horizontais e circulações verticais.

O espaço arquitetônico, pelas razões apontadas, não é uma forma vazia, tão somente fruto de um contorno (28) é produto da complexa articulação e produção de estruturas geométrico-topológicas que dialogam, durante esse processo de elaboração, com outros textos, enunciados e proposições, expressando formas-pensamento, cujo significado encontra lugar na condição específica da arquitetura como espaço criado. No entanto, embora esse fluxo entre a linguagem do espaço e linguagem verbal, que formaliza o pensamento alimente o processo de concepção, a estrutura espacial criada não é analógica, sequer emprestada da língua ou do sistema de signos verbais. Mais que relação analógica entre forma e conteúdo, emulando a distinção saussureana entre língua e fala (29) o processo projetual é um sistema de mediações dialogais: métrico (algébrico, porque envolve uma quantidade de espaço), geométrico e topológico.

A constrição e o determinismo deste caráter estrutural, que organiza as partes gerando o todo final, embora inevitáveis quando o processo se faz linguagem, são desequilibrados na medida em que à estrutura, objeto sincrônico de percepção, incorpora-se informações e intenções mediadas por enunciados, que traduzem valores e aspectos únicos (30). Esta afirmação reafirma o projeto enquanto processo dialógico, definição que supera o esquematismo estruturalista, cujo descentramento e ausência do sujeito do conhecimento da produção do significado, compreendida como puro movimento de deslocamento entre significantes eliminaria toda menção à possibilidade de uma semântica.

Dessa maneira se o estruturalismo afastou a historicidade reafirmando a preponderância da sincronia, a contemporaneidade vem resgatando estudos e visões que voltam a privilegiar a lógica da temporalidade na estrutura, desvendando lógicas espaciais complexas, “[...] múltiplos jogos de posição e de localização dos limites das relações possíveis no espaço” (31). Dessa maneira, continua Dosse (32), o estruturalismo conforma uma paisagem espacial vazia, em que o conteúdo e o sentido se ausentam.

Assinala também a aproximação entre essa visão do estruturalismo e as ciências, lembrando que Lacan, ao aspirar que a psicanálise tivesse o estatuto de ciência, inspirou-se na topologia, buscando encontrar uma estrutura invariante na linguagem expressiva dos conteúdos do inconsciente. Nesse sentido, investiu Lacan no estudo dessas relações invariantes com base nas propriedades das figuras geométricas, em busca de uma lógica dos “lugares” e de suas combinações possíveis (33). Com essa prática, legitimava-se que os elementos da estrutura assim compreendida perdessem, como manifestação sincrônica de um conjunto de posições relativas dos signos ou partes na totalidade da frase (sintaxe), o sentido singular, e por essa razão, a significação emergiria do jogo combinatório de uma topo-lógica  (34).

A partir dessa concepção da estrutura como topologia, se tornou possível “[...] contornar o sujeito, para situar-se ao nível das relações de poder, evitando toda referência a qualquer intencionalidade [...]” (35). É como se o estruturalismo tivesse reprimido a ação do sujeito, na transformação da estrutura, e a volta deste à cena do pensamento e da filosofia não se fez sem conflitos, expressos na divisão entre sua autonomia e as redes de dependência que o condicionam.

É a partir desta visão, de que a estrutura ou topos é um sistema regrado por leis espaciais invariantes (determinismo estrutural), que dialogam no processo de projeto com a autonomia subversiva da intencionalidade do sujeito, que se discute o objeto projetual como construção e jogo de mediações de linguagem.

A Topologia determina estruturas invariantes, tais como interior e exterior, perto e longe, separado e unido, contínuo e descontínuo, categorias a que Platão denominou “ciência do espaço” (36). No entanto, o conceito aristotélico de lugar questiona essa genérica definição de espaço, como  “[...] a soma de todos os lugares num campo dinâmico com uma direção e propriedades qualitativas, completando os aspectos métricos” (37). Se, como vimos, tanto Moradiellos como Frege acreditam que à relação das partes se associa uma semântica ou sentido, e as ligações topológicas que são também quantitativas, podem ser representadas por grafos planares, um tipo de representação diagramática que expressa aspectos semânticos (conexões específicas). O que faz crer que o espaço seja uma resultante, que envolve tanto singularidade como medida. Lugar é espaço singular, cuja unicidade implica na ação ou movimento, e embora a totalidade determine uma estrutura de partes articuladas, as relações semântica e pragmática o qualificam.

Planta sem escala
Desenho dos autores

A planta acima exemplifica a aplicação da lei das cinco cores, e se apresenta dividida, com as partes coloridas indicando que de cada cinco compartimentos, dois não se tocam. 

A planta pode ser decomposta algébrica e quantitativamente, o que poderia ser expresso e traduzido pela equação, ao supor uma área total de 150m2:

150 = 78 + [26 + 3 +8 + 4 (9 + 3.2) + 8 (8 + 2.8)] 

A área total poderia então ser decomposta nas áreas parciais que integram o todo da planta, e revelam a tradução da quantidade de espaço em duas linguagens distintas e analíticas – o espaço e a álgebra.

Grafo
Desenho dos autores

A mesma representação em planta pode então ser expressa por meio do grafo acima (grafo planar), que apresenta qualitativa e sintaticamente as relações espaciais propostas.

Legenda: A – Projeção da área total do terreno ; Cz – cozinha; B – Banho;Q – quarto; S – salão; C – Circulação (amarelo)

Topologia Geométrica: natureza, definição e limites

A sintaxe espacial se originou no campo conhecido como Topologia Geométrica, uma das áreas da Matemática, que estuda relações espaciais constantes, cuja invariância se manifesta apesar de transformações formais e deformações (38). Em arquitetura, relações topológicas se expressam na articulação de partes na constituição de uma totalidade, o que se evidencia no corte horizontal da planta. A planta é o meio em que se pode observar a natureza estrutural e sintática.

A teoria que investiga relações estruturais para compreender uma estrutura do espaço foi desenvolvida pelo matemático Leonhard Euler (1707-1783), que  demonstrou que para um objeto tridimensional como um cubo, por exemplo, com seis faces (F), doze arestas (A) e oito vértices (V), há uma relação constante  denominada número de Euler (E), que se define pela equação E = F – A + V; logo E = 6 – 12 + 8 = 2. Significa que para qualquer subdivisão de uma superfície, resultante de deformação ou divisão ortogonal, o número de Euler continua sempre igual, e igual a dois (2) (39). Isto quer dizer que de cada cinco porções de espaço ou regiões articuladas no plano euclidiano, duas não se tocam, isto é, há uma invariância, qualquer que seja a manifestação formal e singular das partes e da totalidade produzida. Espaços ou partes podem ser então pintados como um mapa, obedecendo a uma invariância, a lei das cinco cores. Esse teorema afirma que: “Pode ser demonstrado que o número de Euler é um invariante topológico de superfície, ou seja, não depende da representação poliédrica que faça dela, mas da sua forma topológica ‘essencial’. Na verdade, o número de Euler da representação poliédrica é o mesmo para qualquer mapa da superfície, desde que cada face [...] seja topologicamente equivalente (homeomorfa) a uma região poligonal plana”. (40).

O que serve para os mapas se revela em uma planta na arquitetura Se, para cada agrupamento de cinco países, dois deles não são vizinhos, de cada cinco espaços qualitativamente distintos de um todo – de uma planta, dois não se comunicam (a demonstração matemática desta condição topológica é fartamente ilustrada). A conseqüência é que ao definir uma função, por exemplo, sala ou dormitório, restringe-se a possibilidade de conexões futuras, e assim sucessivamente. O número de Euler aparece como restrição, ou lei da sintaxe, regendo as partes conforme sua determinação, surgindo entre elementos “gramaticais”, como espaços especializados de união, de que são exemplos corredores, halls, escadas, ou ruas e avenidas etc...

Representação paramétrica da Garrafa de Klein [Wikimedia Commons]

Um princípio da Topologia Geométrica é que a partir das quatro superfícies básicas conhecidas, o Toro, a Garrafa de Klein e o Plano Projetivo – todas as demais superfícies fechadas são construídas a partir daquelas, por meio de um número finito de adições e procedimentos de soma. São exemplos de operações topológicas o homeomorfismo e a soma conexa. Homeomorfismo é a conservação de características topológicas entre pontos de uma superfície, submetida à deformação, qualquer que seja a variação das condições topográficas ou geométricas. Soma conexa é uma operação entre figuras topológicas independentes e descontínuas, produzindo outro espaço resultante dessa operação. Ao unir uma ou mais superfícies descontínuas, é possível cortar e remover, aproximar e colar bordos, obtendo resultantes. Duas superfícies são isotrópicas, quando uma é obtida da outra, em combinações. Entre as superfícies topológicas conhecidas e que inspiram, por analogia, espaços arquitetônicos encontram-se Disco, Esfera, Toro, Faixa de Möbius, Garrafa de Klein e Plano Projetivo (41).

Representação de Toro
Maksim [Wikimedia Commons]

Garrafa de Klein, Toro e Plano Projetivo têm números de Euler diferentes de 2; o Plano Projetivo tem número de Euler igual a 1, e mapas derivados dessa figura podem ser pintados com seis cores. Conforme Heawood enunciou (42), é possível relacionar mapas a números de Euler diferentes de dois; no entanto, essas figuras representadas por mapas com número de Euler diferentes de dois geram planos não-orientáveis, ou seja, em que nenhum ser humano poderia habitar ou estar, e uma das superfícies não-orientáveis é a Fita de Möebius. Somente um habitante bi-dimensional poderia caminhar em figuras dessa natureza, e na prática, somente a esfera e o cubo e suas deformações têm uma topologia compatível com a física humana (43).

Representação da Fita de Möbius
David Benbennick [Wikimedia Commons]

Estas observações indicam que uma figura topológica como a Fita de Möbius não é em si um espaço arquitetônico, por ser incompatível com o movimento e a permanência humanas. Estas figuras incompatíveis com o movimento humano não permitem transposição linear na forma de espaços arquitetônicos, porque pertencem exclusivamente à Topologia: “Se um jovem quadrado resolver dar um passeio [em uma superfície não-orientável, observação dos autores...], ele tenta retomar sua posição original dando um giro de 180oem torno de si mesmo, mas só consegue ficar em pé olhando para a direção oposta a que olhava quando partiu” (44). Cada figura topológica diferente do cubo teria um número de Euler diferente de dois: qual o significado dessa diferença? Se o ser humano pudesse viver em um Toro ou Fita de Möebius, haveria mais possibilidades de conexões entre espaços funcionais, e menos necessidade de elementos conectores como circulações e transições (ruas, corredores, etc...).

Em Arquitetura, o homem cria para outro, considerando necessidades e limites corpóreos, utilizando linguagem e representação a serviço do humano e da ciência, como prática e tecnologia. Semântica e sintaxe somente têm sentido quando vinculadas à pragmática, ao deslocamento corpóreo, conforme as possibilidades do corpo.

Estruturas espaciais arquitetônicas são regidas por princípios como continuidade e a descontinuidade, dentro e fora, consistindo em expressão de leis gerais sintáticas. Quer dizer que sob esta definição, a deformação ou variação formal não alteram as relações topológicas, sendo a planta (o plano) base para a topologia, quando se transpõe esse fundamento à arquitetura.  Neste sentido, “A topologia está escondida; imersa em relações espaciais. A planta arquitetônica é uma explícita descrição de fundamento da topologia. Enquanto a geometria é, a topologia se refere a. Geometria é local; já a topologia se refere a um objeto em relação a, ou como parte de ou inserido em. Topologia subentende relações; é sistêmica - todas as partes afetam todas as demais partes. Seguindo a definição clássica, ‘[...] a topologia se refere a propriedades espaciais não afetadas por modificações de forma e/ou tamanho.’” (45). A partir dessa definição, se a atividade projetual for conceituada exclusivamente como a produção de uma estrutura topológica, reprime-se (e se faz procedente essa repressão) qualquer interferência intencional sobre a produção do sistema de conexões, como se esse processo de articulação fosse suficiente para explicitar a construção complexa de significado e espaço arquitetônicos.

Mesmo no que se refere exclusivamente à relação entre topologia e matemática, essa condição topológica, como pura qualidade e estrutura invariante foi questionada, com a proposta de que toda organização topológica admite uma quantidade algebricamente definida, o que revelaria sua natureza quantitativa e qualitativa.

O teorema de Gauss-Bonnet (46) estabelece uma relação entre aspectos topológicos (qualitativos) e geométricos (quantitativos), e comprovou a relação de uma propriedade geométrica como a curvatura de Gauss, e outra topológica, o número de Euler. Cubo e esfera são homeomorfos (têm a mesma natureza topológica) porque têm uma mesma curvatura (4 Pi), de vez que, à diferença de figuras tais como o toro, não dispõem de furos. O fato de o Toro apresentar furos o que faz com que tenha curvatura de 2 Pi. Conforme esse teorema, para uma superfície poliedral como o cubo, as curvaturas se concentram nos vértices, e os demais pontos da superfície têm vizinhança isométrica, a um domínio do plano euclidiano, com curvatura igual a zero, e zero é também uma expressão de quantidade. A figura renascentista do “Homem Vitruviano” mostra a inclusão do homem em um quadrado inserido em um círculo; essa figura, projetada em três dimensões, representa a lei de Gauss-Bonnet, exemplificando a curvatura de 4 Pi e o número de Euler, dois.

O Homem Vitruviano, Leonardo Da Vinci, c. 1490. Acervo Gallerie dell'Accademia, Veneza [Wikimedia Commons]

Essa questão apresentada pela crítica do teorema de Gauss-Bonnet indica que mesmo figuras homeomorfas não estão livres da contaminação da quantidade, sugerindo que as relações topológicas do espaço arquitetônico estão submetidas à quantidade, o que contribui para afirmar que a complexidade projetual reside no fato de contar com relações qualitativas e quantitativas.

É no plano euclidiano com curvatura nula em que o homem se desloca; e o plano euclidiano pode ser compreendido também em termos de curvatura (zero). O plano euclidiano está contido em superfícies ou espaços não-euclidianos, sendo que as realizações da arquitetura contemporânea fundamentadas em espaços não-euclidianos contêm planos euclidianos, mesmo abrigados em espacialidades inovadoras, não-euclidianas. Na arquitetura contemporânea, diagramas significam modelagem “quadro a quadro” de uma superfície não-euclidiana ou superfície topológica. Meios digitais possibilitam deformar a malha euclidiana, transformando-a em superfície não-euclidiana. Conformando o espaço curvo, determinam-se abrigos sob superfícies deformadas, que limitam e contêm espaço arquitetônico.

O corpo desloca-se abrigado em três dimensões, mas a gravidade o limita ao plano euclidiano. A planta é o domínio do movimento corpóreo, sendo a partir do plano que se depreendem percepções espaciais. O plano euclidiano é fundamental às conexões topológicas e a arquitetura exige que espaços ou superfícies complexas não-euclidianas continuem exigindo o domínio do espaço euclidiano, em que conexões expressas em planta regem os deslocamentos corpóreos.

Projetar a forma topológica: conceder qualidade às conexões – a Casa Möebius

Casa Möbius, Ben Van Berkel, UN Studio. Het Gooi, Holanda
Foto Christian Richters [Wikimedia Commons]

Um exemplo que permite compreender a topologia como instrumento de projeto de fluxos e vivências é a Möebius House Het Gooi (1993-1998), de Ben Van Berkel (47), do Escritório UN Studio, de Amsterdã. O partido é um sistema de conexões baseado em percursos fundamentados na Fita de Möebius, possibilitando ao mesmo tempo na casa espaços de convivência e privacidade. Destinada a um casal e com 520 metros quadrados de área construída, sua espacialidade consiste de dois braços articulados por uma torção, com um deles se sobrepondo ao outro. Desse movimento de torção, decorre uma área de contato de ambos os braços que define uma área comum, em que o casal desenvolve atividades conjuntas (cozinha, dormitórios). O desenvolvimento singular de cada um dos braços cria espaços de permanência privativa, tais como salas de estar e escritórios, nos quais cada um dos moradores poderá permanecer sem encontrar necessariamente o outro. A casa conta com dois estúdios localizados em cada um dos extremos para cada um dos moradores, e dispõe ainda de três dormitórios, uma sala de reuniões, um estar, cozinha, depósito e uma estufa no andar superior.  A Casa Möebius não é transposição literal do espaço abstrato da Fita de Möebius, sequer resulta exclusivamente de um diagrama. A passagem da abstração à arquitetura depende da definição das atividades e singularidade dos percursos, circulações e espaços de permanência.

Por essa razão, as torsões realizadas com base no diagrama matemático (uma forma topológica pura) têm um sentido que transcende a Fita de Möebius como referência, correspondendo a fluxo e uso que foram moldados pela interpretação de van Berkel relativa a um estilo de vida caracterizado pelas novas relações de trabalho, implicando unificar residência e atividade profissional: “ Ben van Berkel ha conseguido otorgar un significado adicional al diagrama de la banda Möebius, un nuevo valor simbólico que corresponde con los límites cada vez más borrosos entre la vivienda y el trabajo”. (48).

A possibilidade de encontro e disjunção, que depende do tempo ou da diacronia da percepção configura, aí sim, a estrutura topológica da casa, e a Fita de Möebius é tão somente suporte icônico, cuja emulação gera fértil e produtiva analogia. Qualidades para o espaço da casa foram definidas como enunciados projetuais, tal como a integração entre casa e paisagem, dotando a massa construída de generosas aberturas e transparências, o que permite se tornar apreensível no momento em que o edifício é vivenciado.

O exemplo da Casa Möebius evidencia que o projeto mesmo como resultado topológico nasceu de complexa construção de sentido, expresso no modo específico de viver e fluir projetados. As possíveis percepções adquirem intensidade expressiva com o uso da cor, da luz natural ou artificial, da matéria selecionada, relações entre interior e exterior, com aberturas e panos envidraçados como parte fundamental do espaço arquitetônico (49) e uma figura abstrata como a Fita de Möebius, não pode ser transposta direta e linearmente à arquitetura, pois o fluxo humano não é concebível nas condições ideais da topologia.

A Casa Möebius, como processo e diagrama demonstra a existência de uma analogia regendo o projeto, de vez que o movimento humano se realiza no plano horizontal, e não no interior da Fita, por consistir em abstração inatingível pragmaticamente. Da análise se depreende os princípios da conectividade por caminhos propostos, e a construção de um sistema de atributos e singularidades da ambiência que consiste no fundamento do projeto.

Para Ben van Berkel, o processo se inicia com a construção de uma paisagem de dados (50), espaços de eventos, correspondendo aos movimentos. Os eventos são elementos dinâmicos capazes de transformar a “paisagem arquitetônica”, o espaço diagramático em sua auto-referência ou interioridade. O projeto é um sistema de interações entre a estrutura espacial e os acontecimentos previstos: a exterioridade.

A Fita de Möebius e a estrutura topológica de um bi-toro (soma conexa de dois toros) formam a base do diagrama, cujo significado arquitetônico é um modo de viver, originado pelos fluxos orientados. O ícone da Fita de Möebius é transformado por relações espaço-temporais, expressas no projeto como sugestão de usos, concretizando a conectividade por caminhos e estimulando encontros e isolamentos. O enunciado desse sistema pragmático confere unicidade ao objeto projetado, dominando a estrutura sintática e topológica.

Considerações finais

O projeto é mediação ou linguagem de complexa relação entre a estrutura espacial (topológica) e sentido, atributos de singularidade, percursos e conectividades por caminhos. Os eixos sintático, semântico e pragmático, definem a complexidade da arquitetura como evento, materializado pelo movimento do corpo no espaço.

A estrutura sintática que se apresenta sincronicamente como totalidade é construída, em processo que a modifica até que a totalidade estável seja alcançada. Intencionalidades diacrônicas interpostas no processo traduzem percepções e fluxos dos futuros usuários, prospectando o movimento corpóreo, são enunciadas pelo arquiteto durante o ato de projetar. Projetar implica em mediar intenções e conferir unicidade ao espaço arquitetônico, articulando-o a estrutura topológica. Embora essa estrutura pareça dominar, projetar é sugerir fluxos, e a estrutura sintática, antes de submeter o sentido, é em vez disso, transformada pela singularidade da concepção.

A Casa Möebius exemplifica essas questões, demonstrando que o espaço concebido é um sistema de conexões singulares em processo. Esses atributos definem prática e vivência, não apenas esquema ou diagrama formal, o que sugere a crítica da arquitetura como forma autônoma.  A arquitetura como complexidade envolve pelo menos três dimensões - sintática, semântica e pragmática, e aspectos sintáticos, embora presentes, não esgotam o espaço criado.

A linguagem da arquitetura é algébrica (quantidade), e topológica (qualidade). Tais mediações científicas estão presentes como parte de sua complexa natureza e esse saber define um campo científico para a arquitetura, sem comprometer a condição artística e seu valor de verdade.  

A complexidade e natureza artística demonstram a variedade e a diferença de possibilidades, para os mesmos pressupostos e determinantes. A arquitetura não se define apenas como forma, estrutura ou sintaxe, consistindo em espacialidades ou ambiências, sequer definindo-se como relações topológicas ou qualitativas puras, pois se aplica a uma realidade física e métrica - que é quantitativa. Compreende-se a Arquitetura em sua complexidade espacial e material, cuja concepção expressa intencionalidades e formas de definir espaços, resgatando a presença de um sujeito que opera a linguagem e constrói assim a humanidade, matéria da significação.

notas

NE
Este artigo foi originalmente publicado nos Anais do IV Projetar 2009 – Projeto como investigação, ensino e prática, evento realizado de na Universidade Presbiteriana Mackenzie. No entanto, o texto apresenta transformações e acréscimos.

1
CLARK, Katerina; HOLQUIST, Michael. Mikhail Bakhtin. São Paulo, Ed. Perspectiva, 1998.

2
DOSSE, François. História do Estruturalismo. V. 2 O canto do Cisne. Bauru, EDUSC (Ed. da Universidade do Sagrado Coração), 2007.

3
DOSSE, ibid.

4
DOSSE, op. cit.

5
Fenomenologia: filosofia que remonta a Edmond Husserl, fundamentada na ação intencional de um sujeito do conhecimento que visa o objeto de sua intenção e conhece a realidade a partir dessa visada.

6
Conforme Tarski definiu a semântica, chegando-nos o conceito pela contribuição do filósofo Celso Braida, em “Significatividade e verdade”, em Revista Kriterion, v. 43, no. 105, jan./junho de 2002, p: 2. Disponível em http://www.scielo.br., acessado em março de 2011.   

7
Ver BLOMMAERTS, Thomas “Função, conceito, sentido e referência”, em Revista Speculum, Ano 11, no. 601, 2009.  Disponível em http://www.speculum.art.br/module.bhp?a_ 1d=1554, acessado em 21.03.2011.

8
Conforme se lê ainda em BLOMMAERTS, op. Cit..

9
A definição se encontra em FREGE, Gottlob , Ensayos de semántica y Filosofía de la Lógica. Edición, introducción y notas de Luis M. Valdés Villanueva. Madrid, Ed. Tecnos, 1998, P. 91.

10
Cf. ALCOFORADO, Paulo, na Introdução, em  FREGE, Gottlob. Lógica e Filosofia da Linguagem. São Paulo, Cultrix, 1978: p. 25.  

11
KÜHL, Nilo. Introdução à Topologia Geral. Florianópolis, Ed. UFSC, 2002. 2a. Edição.

12
MORADIELLOS, Enrique. El oficio de historiador. Madrid, Siglo XXI, 2008. 5ª. Edição revisada. 

13
MORADIELLOS, ibid.

14
MORADIELLOS, 2008: p. 6

15
SPERLING, David Moreno. “Arquiteturas contínuas e Topologia: similaridades em processo”. Dissertação de Mestrado, apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Tecnologia do Ambiente Construído, do Departamento de Arquitetura e Urbanismo da Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo (EESC USP), maio de 2003.

16
FREGE, Gottlob, op. Cit.

17
Lê-se em FREGE, Gottlob, op. Cit., p. 92.

18
PEIRCE, Charles S. Semiótica e Filosofia, Ed. Cultrix, SP, 2ª ed., 1982.

19
CLARK, Katerina; HOLQUIST, Michael. Op. cit.

20
Conforme mencionado por CONSIGLIERI, Victor. A morfologia da Arquitetura. V. 1 e v.2. Lisboa, Editorial Stampa, 1999.

21
CONSIGLIERI, op. Cit.

22
CONSIGLIERI, 1999: p. 247.

23
CONSIGLIERI, op. Cit.

24
Jean Piaget: biólogo e epistemólogo, estudioso do processo cognitivo fundamentou o conhecimento na perspectiva genética, estudando experimentalmente a formação e desenvolvimento das estruturas cognitivas na criança. Christian Norberg-Schulz: arquiteto que introduziu na teoria arquitetônica a perspectiva fenomenológica do lugar de Martin Heiddeger.

25
CONSIGLIERI, op. Cit.

26
AGUIAR, Douglas. “Planta e corpo. Elementos de topologia na arquitetura”,  em Arquitextos, Texto Especial 508, março de 2009, disponível em http://www.vitruvius.com.br/arquitextos/arq000/esp509.asp. 2009, acessado em março de 2011.

27

CONSIGLIERI, op. Cit.

28
MONTANER, Josep Maria. As formas do século XX. Barcelona, Gustavo Gili, 2002.

29
SAUSSURE, Ferdinand. Curso de Lingüística Geral. São Paulo, Ed. Cultrix, 1997.

30
Cf. SPERLING, op. cit.

31
DOSSE, François. Op. cit., p. 359.

32
DOSSE, François. Op. cit.

33
DOSSE, François. Op. cit.

34
DOSSE, François. Op. cit.

35
DOSSE, op. cit., p. 542.

36
CONSIGLIERI,Victor, op. cit.

37
MORADIELLOS, 2008: p. 169.

38
Para compreender a deformação topológica, consultar “Apostilas eletrônicas de Dona Fifi -

A curvatura de Gauss e o número de Euler”, UFC, 2011.  Disponível em http://www.searadaciencia.ufc.br/donafifi/gausseeuler/gausseuler5.htm.

39
Ver SAMPAIO, João Carlos V. “Quatro cores e matemática”, Salvador, II Bienal da SBM – UFBA, disponível em www.bienasbm.ufba.be/M35.pdf. Acessado em 01/06/09.

40
Para a diversidade de figuras topológicas, consultar SPERLING, David Moreno. “Arquiteturas contínuas e Topologia: similaridades em processo”. Dissertação de Mestrado, apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Tecnologia do Ambiente Construído, do Departamento de Arquitetura e Urbanismo da Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo (EESC USP), maio de 2003  

41
SAMPAIO, João Carlos V. , ibid.: p. 42

42
SAMPAIO, João Carlos V. , op. cit.: p. 13

43
SAMPAIO, João Carlos V., op. cit.: 2009

44
SAMPAIO, João Carlos V., op. cit.

45
AGUIAR, Douglas. “Planta e corpo. Elementos de topologia na arquitetura”, em Arquitextos, Texto Especial 508, março de 2009, disponível em http://www.vitruvius.com.br/revistas/read/arquitextos/09.106/70, acessado em março de 2011.

46
Sobre o Teorema de Gauss-Bonet, ver TAVARES, João Nuno (página pessoal do autor, Centro de Matemática da Universidade do Porto). “Sobre o teorema de Gauss-Bonet. Geometria e Topologia”, disponível em http://cmup.fc.up.pt/cmup/cv/, acessado em 10 de março de 2011

47
Ver “La casa Möebius em Amsterdam, de Ben van Berkel”, em “Historias de casas!”, disponível em http://historiasdecasas.blogspot.com/2006/09/la-casa-moebius-en-msterdam-de-ben-van.html, acessado em junho de 2011. Ver também o site do Arquiteto Ben van Berkel, disponível em http://www.unstudio.com/projects/name/M/1/

48
Idem nota anterior.

49
SPERLING, op. cit., 2003

50
Ver “La casa Möebius em Amsterdam, de Ben van Berkel”, em “Historias de casas!”, disponível em http://historiasdecasas.blogspot.com/2006/09/la-casa-moebius-en-msterdam-de-ben-van.html, acessado em junho de 2011.

sobre os autores

Eunice Helena Sguizzardi Abascal é Arquiteta e Urbanista, professora da Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Mackenzie. Doutora em Arquitetura e Urbanismo

Carlos Abascal Bilbao é Arquiteto e Urbanista. Mestre em Ciências Sociais pela Fundação Escola de Sociologia e Política – FESP. São Paulo.